반지이론,소개,정의 및 기본개념,그조특성과 이상

### 1. ** 고리이론 소개**

 

고리이론은 추상대수학의 한 분야로, 정수나 다항식과 같은 익숙한 수학적 구조의 산술을 일반화하는 이론입니다. 더 추상적인 환경에서 덧셈과 곱셈과 같은 연산을 연구할 수 있는 틀을 제공하여 수학자들이 다양한 대수 체계에서 속성과 관계를 탐구할 수 있도록 해줍니다.

 

#### **정의 및 기본개념**

 

**ring**는 덧셈(+)과 곱셈(·)의 두 이진 연산을 갖춘 집합 \(R \)입니다. 이 연산들은 정수의 성질을 일반화하는 일련의 공리들을 만족시켜야 합니다. 형식적으로, 고리는 다음과 같은 두 연산과 함께 집합 \(R \)로 정의됩니다:

 

1. **Addition**: \( R \)는 덧셈 중인 아벨 군입니다. 이는 다음을 의미합니다:

   - **Associety**: 모든 \(a, b, c \in R \), \(a + b) + c = a + (b + c) \).

   - **가환성**: 모든 \(a, b \in R \), \(a + b = b + a \)에 대하여.

   - **Identity element**: 모든 \(a \in R \), \(a + 0 = a \)에 해당하는 원소 \(0 \in R \)가 존재합니다.

   - **역원소**: 각 \( R \의 a \)에 대하여, \( a + (-a) = 0 \)이 되는 원소 \( -a \ in R \)가 존재합니다.

 

2. **곱셈**: 작업은 연관적이며 다음을 의미합니다:

   - 모든 \(a, b, c \in R \)에 대하여, \(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)에 대하여.

 

3. **분포 특성**:

   - **좌측 분포**: 모든 \(a, b, c \in R \), \(a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)에 대하여.

   - **오른쪽 분배**: 모든 \(a, b, c \in R \), \(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \)에 대하여.

 

고리는 곱셈적 동일성 (단위 원소) 또는 교환적 곱셈과 같은 추가적인 속성을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있습니다. 이러한 구별은 다른 등급의 고리로 이어지는데, 고리는 별도로 연구됩니다.

 

#### ** 반지의 예**

 

- **정수 집합 \( \mathbb{Z} \)**: 가장 친숙한 고리의 예는 표준 덧셈과 곱셈이 있는 정수의 집합입니다. \( \mathbb{Z} \)는 유니티(곱 항등식은 1)를 갖는 가환환입니다.

 

- **다항식 \( \mathbb{R}[x] \)**: 실수 계수를 갖는 모든 다항식의 집합은 다항식 덧셈과 곱셈의 일반적인 연산 하에서 하나의 고리를 형성합니다. 이 고리는 가환적이고 유니티(상수 다항식 1)를 갖습니다.

 

- **행렬 \( M_n(\mathbb{R}) \)**: 실수 항목이 있는 모든 \(n \times n \) 행렬의 집합은 행렬 덧셈 및 곱셈 하에서 고리를 형성합니다. 이 고리는 유니티(identity matrix)를 갖지만 일반적으로 비가환적입니다.

 

- **잔류 클래스 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)**: \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)로 표시된 정수 모듈로 집합 \(n \)은 덧셈과 곱셈이 정의된 모듈로 \(n \)와 함께 고리를 형성합니다. 이는 가환환환이며, 유니티 요소를 갖습니다.

 

#### ** 반지의 종류**

 

- **가환환**: 곱셈 연산이 가환적이면 환을 가환적이라고 하는데, 즉, 모든 \(a, b \에서)에 대하여 \(a \cdot b = b \cdot a \)입니다.

 

- **Ring with Unity**: 모든 \(a \in R \)에 대하여 \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a \)가 되도록 원소가 존재하는 경우, 고리 \(R \)는 유니티(또는 단위 원소)를 갖는다고 합니다.

 

- **나눗셈 고리**: 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역수를 갖는 고리를 나눗셈 고리 또는 스큐장이라고 합니다. 가장 친숙한 예는 4등분 집합입니다.

 

- **필드**: 필드는 0이 아닌 모든 원소가 곱셈적 역수를 갖는 유니티를 갖는 가환환입니다. 실수 집합 \( \mathbb{R} \)과 복소수 집합 \( \mathbb{C} \)이 필드의 예입니다.

 

### 2. ** 고리이론의 구조적 특성과 이상**

 

고리 이론의 중요한 측면은 고리 내의 하부 구조, 특히 이상을 연구하는 것인데, 이는 군 이론에서 일반적인 부분군과 유사한 역할을 합니다. 이상을 이해하는 것은 고리 동형 사상과 몫 고리와 같은 더 발전된 개념을 개발하는 데 기본이 됩니다.

 

#### **이상적인 요소 및 이상적인 요소**

 

고리 \( R \)의 ** 부분집합 **는 \( R \)의 연산 하에서 그 자체가 고리인 부분집합 \( S \subseteq R \)입니다. 부분집합이 되기 위해서는 \( S \)가 덧셈, 곱셈, 그리고 역수를 취하는 ( 덧셈 하에서) 닫혀 있어야 합니다. 그 예로는 \( \mathbb{Z} \)의 부분집합을 이루는 짝수 정수의 집합이 있습니다.

 

**deal**는 부모 고리에서 곱셈 연산과 관련된 추가적인 속성을 가진 특별한 유형의 부분 고리입니다. 이상의 유형은 크게 두 가지입니다:

 

- **좌측 아이디얼**: 부분집합 \( I \subseteq R \)는 덧셈 하에서 닫혀 있고, 임의의 \(r \in R \) 및 \(i \in I \)에 대하여, 곱 \(r \cdot i \in I \)에 대하여, 좌측 아이디얼입니다.

 

- **우 아이디얼**: 부분집합 \( I \subseteq R \)이 덧셈 하에서 닫혀 있고, 임의의 \(r \in R \) 및 \(i \in I \)에 대하여, 곱 \(i \cdot r \in I \)에 대하여, 올바른 아이디얼입니다.

 

- **양면 아이디얼**: 부분집합 \(I \subseteq R \)은 좌와 우의 아이디얼일 경우 양변에서 곱셈을 흡수하는 양변 아이디얼(또는 간단히 아이디얼)입니다.

 

#### **주요 이상과 최대 이상**

 

**주 아이디얼**는 단일 원소에 의해 생성된 아이디얼이다. 고리 \( R \)에서, 원소 \( R \에서 a \)에 의해 생성된 주 아이디얼은 \(a)로 표시되며, \( r \in R \)에서 \(r \cdot a \) 형태의 모든 원소로 구성됩니다. 예를 들어, \( \mathbb{Z} \)에서, 임의의 정수 \(n \)의 배수 집합은 주 아이디얼 \(n) \을 형성합니다.

 

**maxim 아이디얼**는 \( M \)와 고리 \( R \) 자체 사이에 다른 아이디얼들이 포함되지 않도록 하는 아이디얼 \( M \)입니다. 즉, \( M \)가 극대 아이디얼이고, \( I \)가 \( M \subset eq I \subset eq R \)인 아이디얼이라면, \( I = M \) 또는 \( I = R \)입니다. 극대 아이디얼은 \( M \)이 극대 아이디얼일 때 항상 \(R/M \)이 필드이기 때문에 특히 중요합니다.

 

#### ** 고리 동형 및 몫 고리**

 

**고리 동형**는 고리의 작용을 보존하는 두 고리 사이의 함수입니다. 형식적으로, \( R \)와 \( S \)가 고리라면, 함수 \( f: R \rightarrow S \)는 모든 \(a, b \in R \)에 대하여 고리 동형입니다:

 

1. \( f(a + b) = f(a) + f(b) \) (가산 보존).

2. \( f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) \) (곱셈의 보존).

3. \(f(1_R) = 1_S \) 만약 \(R \)과 \(S \) 둘 다 곱셈 항등식을 갖는다면.

 

환 동형 사상 \( f: R \rightarrow S \)의 **커널**는 \( S \)의 영 원소에 매핑되는 \( R \)의 원소들의 집합입니다. 커널은 \( R \)에서 항상 아이디얼입니다.

 

환 \(R \)과 이상적인 \(I \)가 주어지면, **분수환** \(R/I \)를 구성할 수 있습니다. \(R/I \)의 원소는 \(R \)에 있는 \(I \)의 코셋이며, 덧셈과 곱셈의 연산은 다음과 같이 정의됩니다:

 

- \((a + I) + (b + I) = (a + b) + I \),

- \((a + I) \cdot (b + I) = (a \cdot b + I \).

 

몫환 \(R/I \)은 \(R \)의 구조의 많은 부분을 계승하지만, \(I \)의 모든 원소는 0으로 처리됩니다.

 

#### ** 프라임 이상과 반지의 스펙트럼**

 

고리 속의 **우량 아이디얼** \( P \) \( R \)가 어떤 \(a, b \in R \)에 대하여 \(a \cdot b \in P \)라면, \(a \in P \) 또는 \(b \in P \) 중 하나가 되는 성질을 가진 아이디얼입니다. 소수 아이디얼은 정수환 속의 소수를 일반화한 것입니다. 그들은 중요한 역할을 합니다