실물분석,한도,계속성,차별성

### 실물분석의 기초: 한계, 연속성, 차별성의 종합적 탐색

 

#### 1. 한도

 

극한의 개념은 실제 분석의 기초가 됩니다. 이를 통해 입력이 특정 값에 접근할 때 함수의 동작을 엄격하게 정의할 수 있습니다. 형식적으로 \(f(x)\)가 함수이고 \(L\)가 실수일 때 \(x\)가 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)의 극한은 \(L\)이며 \(\lim_{x \to c} f(x)) = L\로 표시되며, 모든 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(0 < |x - c| < \delta\)> 0\이 존재하므로 \(0 < |x - c| delta\)는 다음과 같습니다.

 

이 정의는 추상적으로 보이지만 특정 값에 접근하는 함수의 개념을 포착하는 정확한 방법을 제공합니다. \(\epsilon\)-\(\delta\) 정의는 \(x\)를 \(c\)에 충분히 가깝게 함으로써 \(f(x)\)를 \(L\)에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있도록 보장합니다. 이 정밀도는 미적분학과 다른 분석 분야의 엄격한 발전에 매우 중요합니다.

 

극한 \(\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7\)을 생각해 보자. \(\epsilon\)-\(\delta\) 정의를 사용하여 이를 검증하기 위해서는 우선 \(\epsilon > 0\)이 주어지도록 해야 합니다. 우리는 \(0 < |x - 2| < \delta\), \(| (3x + 1) - 7| < \epsilon\)을 구해야 합니다. 단순화하면, 우리는 다음과 같습니다:

 

\[ |(3x + 1) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|. \]

 

\(|3x - 6| < \epsilon\)를 만족시키기 위해 \(3|x - 2| < \epsilon\)를 설정하고, 이는 \(|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}\)를 제공합니다. 따라서, 우리는 \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\)를 선택할 수 있습니다. 따라서, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해, \(0 < |x - 2| < \delta\)인 경우, \(| (3x + 1) - 7| < \epsilon\)은 \(\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7\)임을 확인합니다.

 

#### 2. 계속성

 

만약 \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\일 경우 함수 \(f(x))는 한 점 \(c\)에서 연속이다. 이는 \(x\)가 \(c\)에 접근할 때 \(c\)에서의 함수의 값이 함수의 극한과 같다는 것을 의미합니다. 직관적으로 \(c\)에서 \(f(x)\)의 그래프에는 점프, 브레이크 또는 구멍이 없습니다.

 

\(f(x)\)가 어떤 구간에서 연속이기 위해서는 그 구간의 모든 점에서 연속이어야 합니다. 이 개념은 자연스럽게 더 복잡한 함수와 영역에까지 확장됩니다. 예를 들어 다항함수는 모든 곳에서 연속인 반면 유리함수는 분모가 0이 아닌 곳에서 연속입니다.

 

함수 \(f(x) = x^2\)를 생각해 보자. \(f(x)\)가 \(c = 2\)에서 연속임을 보이기 위해서는 \(\lim_{x \to 2} x^2 = 2^2 = 4\)를 확인해야 합니다. 극한의 정의를 사용하여:

 

임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여, \(0 < |x - 2| < \delta\), \(|x^2 - 4| < \epsilon\)가 되도록 \(\delta > 0\)를 구해야 합니다. 다음이 있습니다:

 

\[ |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)|. \]

\(|(x - 2)(x + 2)| < \epsilon\)>를 확실하게 하기 위해서, \(x\)가 2에 가까워질수록 \(x + 2\)가 4에 가까워진다는 것에 주목하세요. 우리는 \(|x - 2| < 1\)이 되도록 \(\delta\)를 선택함으로써 이것을 정확하게 만들 수 있습니다. 이것은 \(1 < x + 2 < 5\)를 의미하므로, \(3 < x + 2 < 5\), \(|x + 2 | < 5\)를 의미합니다.

 

그리고나서,

 

\[ |(x - 2)(x + 2)| < 5|x - 2|. \]

 

우리는 \((|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}\)을 주는 \(5|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}\)가 필요합니다. 따라서, 우리는 \(\delta = \frac{\epsilon}{5}\)를 선택할 수 있습니다. 따라서, 만약 \(0 < |x - 2| < \delta\)이면, \(|x^2 - 4| < \epsilon\), \(f(x) = x^2\)가 \(x = 2\)에서 연속임을 증명합니다.

 

#### 3. 차별성

 

미분가능성은 연속성의 개념을 확장합니다. 함수 \(f(x)\)는 극한이면 \(c\)에서 미분가능합니다

 

\[ f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} \]

 

존재합니다. 이 극한이 존재한다면, \(c\)에서 \(f\)의 도함수라고 합니다. 직관적으로 도함수는 점 \(c, f(c))\에서 \(f(x))\의 그래프에 대한 접선의 기울기를 나타냅니다.

 

미분가능성은 연속성을 의미합니다. 만약 \(f\)가 \(c\)에서 미분가능하다면, \(f\) 또한 \(c\)에서 연속입니다. 그러나 그 반대는 반드시 사실이 아닙니다. 함수는 \(c\)에서 미분가능하지 않고 연속적일 수 있습니다.

 

함수 \(f(x) = x^3\)를 생각해 보자. \(f'(x)\)를 구하기 위해 다음과 같이 계산합니다:

 

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}. \]

 

간소화를 통해 다음과 같은 이점을 얻을 수 있습니다:

 

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2. \]

 

따라서 \(f(x) = x^3\)의 도함수는 \(f'(x) = 3x^2\)이며, 이는 임의의 점 \(x\)에서 그래프에 대한 접선의 기울기가 \(3x^2\)임을 나타냅니다.

 

그러나 미분가능성은 조각별 함수나 점근이 있는 함수에서는 더 복잡할 수 있습니다. 예를 들어, 절댓값 함수 \(f(x)) = |x|\는 어디에서나 연속적이지만 미분가능하지 않은 이유는 미분계수의 좌,우 극한이 일치하지 않기 때문입니다:

 

\[ \lim_{h \to 0^-} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1, \]

\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1. \]

 

이 한계들은 같지 않기 때문에, \(f(x) = |x|\)는 \(x = 0\)에서 미분할 수 없습니다