대수 기하학,폴리의 지오,모드 그리고 쉬프,지오 그리고 수

## I. **폴리의 지오**

 

(*다항식의 기하학*)

 

대수 기하학은 **0개의 다항식 집합**에 대한 심층적인 검토로 시작됩니다. 이 분야의 기본 객체는 **대수 다양체**로, 다항식 방정식 시스템의 해 집합입니다. 이들은 실수, 복소수 또는 더 일반적인 필드 위에 존재할 수 있습니다.

 

가장 간단한 방법으로는 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$과 같은 두 변수의 다항식을 고려할 수 있으며, 이들의 영집합은 **circle**를 설명합니다. 대수기하학은 이 아이디어를 고차원 및 더 복잡한 방정식으로 일반화합니다.

 

#### 1.1 아핀 및 프로젝티브 품종

 

* **아핀 다양체**는 다항식 집합의 공통 영점에 의해 정의된 아핀 공간 $\\mathbb{A}^n$의 부분집합입니다.

* **사영 다양체**는 이를 사영 공간 $\\mathbb{P}^n$으로 확장하여 "무한대의 점"을 연구할 수 있게 하고 기하학적 연산 하에서 더 나은 동작을 제공합니다.

 

사영 다양체는 교차 이론과 같은 개념을 다룰 때 매우 중요합니다. 여기서 아핀 공간의 선들은 교차하지 않지만 사영 공간에서는 항상 교차합니다 (아마도 무한대일 것입니다).

 

#### 1.2 좌표 링

 

각 다양체는 **좌표환**에 해당하며, 이는 몫환 $k[x_1, , x_n]/I$입니다. 여기서 $I$는 다양체를 정의하는 다항식에 의해 생성된 이상입니다. 이는 대수학과 기하학을 연결합니다: 다양체의 기하학적 특성은 해당 환의 대수적 특성을 반영합니다.

 

#### 1.3 힐베르트의 널스텔렌사츠

 

이 정리는 고전 대수기하학의 중심 기둥을 형성합니다. 이 정리는 특정 조건, 특히 대수적으로 닫힌 장에서 다항식 환**의 **이상값**과 **대수 집합** (그 이상값의 영집합) 사이의 대응 관계를 제공합니다.

 

#### 1.4 형태론 및 합리적 지도

 

**다양체의 변형**은 다항식으로 정의된 함수입니다. 유리 사상은 다항식의 비율로 주어진 부분적으로 정의된 사상입니다. 이러한 도구를 통해 다양체가 서로 어떻게 관련되어 있는지 연구할 수 있습니다.

 

#### 1.5 특이점

 

모든 품종이 매끄러운 것은 아닙니다. 만약 그 품종이 다양체가 되지 않는다면 **단수**가 중요합니다. 예를 들어, $y^2 = x^3$의 원점에는 첨점이 있습니다. 특이점을 연구하는 것은 품종을 분류하고 이해하는 데 필수적입니다.

 

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### II. **모드 & 쉬프**

 

(*현대 도구: 스킴, 띠, 코호몰로지*)

 

20세기 추상 대수학과 호몰로지 기법의 부상으로, 고전적인 대수 기하학 방법들은 주로 알렉산더 그로텐디크의 연구를 통해 **현대 대수 기하학**에 의해 확장되고 통합되었습니다

 

### 2.1 계획

 

**scheme**는 가환환의 스펙트럼처럼 국소적으로 보이는 공간인 **국소적으로 환이 있는 공간**을 패치하여 다양체의 개념을 일반화합니다. 이를 통해 필드뿐만 아니라 임의의 환(예: $\\mathbb{Z}$)에 대해서도 작업할 수 있으며, 이를 통해 수론적 응용이 가능해집니다.

 

* $\\text{Spec}(R)$로 쓰여진 환 $R$의 **스펙트럼**은 $R$의 소수 아이디얼 집합으로, 체계의 기본 구성 요소를 형성합니다.

* $\\text{Spec}(R)$의 각 열린 집합은 고리 다발을 가지고 있어 **국소적으로 고리가 있는 공간**입니다.

 

#### 2.2 시브즈

 

**Sheaves**는 위상 공간에서 지역 데이터를 추적하는 도구입니다. 대수기하학에서 **구조 Sheaf**는 각 열린 집합에 정의된 함수의 고리를 할당합니다. Sheaves는 기하학의 중요한 주제인 **지역-글로벌 현상**을 정확하게 제어할 수 있게 해줍니다.

 

* 예를 들어, 정규 함수의 층, 미분 형식의 층, 또는 하위 다양체의 이상적인 층은 모두 기하학을 연구하는 데 사용할 수 있습니다.

 

#### 2.3 코호몰로지

 

**Sheaf 코호몰로지**는 지역 데이터에서 전역 정보를 계산하는 데 사용됩니다. 이는 섹션이 서로 달라붙지 않는 것을 측정하고 기하학적 객체의 **불변**을 정의하는 데 도움이 됩니다.

 

중요한 코호몰로지 결과는 다음과 같습니다:

 

* **체 코호몰로지**

* **두피 코호몰로지 군 $H^i(X, \\mathcal{F})**

* **세레 이중성**: 곡선과 고차원 다양체 연구에서 강력한 도구.

 

#### 2.4 모듈리 공간

 

모듈라이 공간은 곡선, 벡터 번들 또는 다양체와 같은 대수적 객체의 계열을 분류합니다. 예를 들어:

 

* 타원 곡선의 **모듈리 공간**은 모든 타원 곡선의 동형 클래스를 매개변수화합니다.

* **스택**와 **대수 공간**은 모듈라이 이론을 더욱 일반화합니다.

 

#### 2.5 교차 이론 및 도출된 범주

 

현대 접근법은 집합론적 현상뿐만 아니라 **교차수**, **차우링**, **호몰로지 대수**를 통해 **교차수**를 연구합니다. 도출된 범주는 형태와 확장이 깊은 구조를 드러내는 층을 범주적으로 볼 수 있게 해줍니다.

 

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### III. **Geo & Num**

 

(*기하학 인사이트 및 수론*)

 

대수기하학의 가장 심오한 특징 중 하나는 **수 이론**, **산술**, 그리고 **수학물리학**과의 깊은 연관성입니다.

 

#### 3.1 산술 기하학

 

대수기하학은 $\\mathbb{Z}$ 또는 수체에 대한 체계를 연구함으로써 수론의 중심 도구가 됩니다:

 

* **타원 곡선**는 대수적 곡선이자 현대 암호학의 핵심입니다.

* **디오판틴 기하학**, 다양성에 대한 유리 또는 적분점을 찾습니다.

* **Weil 추측**은 결국 그로텐디크의 제자 델린이 기하학과 제타 함수를 연결하여 증명한 것입니다

 

### 3.2 타원 곡선 및 모듈형 형태

 

$\\mathbb{Q}$ 위의 타원 곡선은 다음과 같은 형태의 방정식에 대한 해입니다:

 

$$

y^2 = x^3 + ax + b

$$

 

그들은 자연스러운 그룹 구조를 가지고 있으며 응용 분야가 있습니다:

 

* 암호학(예: ECC)

* 모듈성 정리를 통한 페르마의 마지막 정리 (타니야마-시무라 추측)

 

#### 3.3 제타의 기능 및 동기

 

유한 체 위의 다양체의 **제타 함수**는 체의 유한 확장에 대한 유리점의 수를 인코딩합니다. 이 함수는 **코호몰로지 이론**과 연결되며, **모티브**, 즉 추측적 보편 코호몰로지 이론의 발전을 이끌었습니다.

 

#### 3.4 갈루아 표현

 

현대 연구의 주요 분야는 대수 다양체의 에탈 코호몰로지에서 발생하는 **갈루아 표현**을 조사합니다. 이는 수론과 기하학을 연결하는 방대한 추측의 집합인 **랭글랜즈 프로그램**의 중심 주제입니다.

 

#### 3.5 거울 대칭 및 물리학

 

끈 이론에서 유래한 **거울 대칭**은 복소 기하학(대수)과 심플렉틱 기하학 사이의 이중성을 제안합니다. 이로 인해 다음과 같은 결과가 나왔습니다:

 

* **그로모프-위튼 불변량을 사용하여 유리 곡선 세기**

* **호몰로지 미러 대칭**, 콘체비치에 의해 공식화되었으며, 파생 카테고리와 후카야 카테고리를 연결합니다

 

대수기하학은 이제 순수 수학뿐만 아니라 **이론 물리학**, **데이터 과학**, 그리고 **암호학**에서도 중요한 틀로 작용하고 있습니다