측정 이론 ,소개,르베그 측정 및 통합

## 1. 측정 이론 소개

 

### 1.1. 역사적 맥락과 동기 부여

 

수학적 분석의 한 분야인 측정 이론은 적분, 확률 및 동적 시스템의 문제에 대한 대응으로 발전했습니다. 수학적 분석의 한 분야인 측정 이론은 개발되기 전에는 고전적인 리만 적분이 적분을 정의하고 계산하는 주된 방법이었습니다. 그러나 리만 적분은 확률 이론, 함수 분석 및 기타 분야에서 접하는 더 복잡한 함수와 공간에는 충분하지 않았습니다. 수학자들이 적분의 틀을 확장하려고 노력하면서 리만 적분의 한계가 분명해졌습니다. 특히 불연속이나 불규칙성이 만연한 특정 유형의 함수나 공간을 처리하는 데 실패했습니다.

 

프랑스 수학자 앙리 르베그(1875~1941)는 측도 개념을 도입하고 현대 측도 이론의 초석이 되는 르베그 적분을 개발했습니다. 르베그 접근 방식의 핵심 혁신은 함수의 값을 합산하는 과정을 반전시키는 것이었으며, (리만의 방법처럼) 정의역을 분할하는 대신 함수의 범위를 분할하여 더 큰 유연성을 허용했습니다. 르베그의 프레임워크는 더 광범위한 종류의 함수를 처리할 수 있게 해주었고 한계를 더 정교하게 처리할 수 있게 해주어 확률 이론과 고급 분석에서 필수적인 요소가 되었습니다.

 

측정 이론은 기하학적 도형을 넘어 '길이', '면적' 또는 '부피'의 개념을 보다 추상적인 집합으로 일반화하여 다양한 수학 구조를 분석하기 위한 유연한 프레임워크를 만듭니다. 이 이론은 현대 분석, 특히 함수 분석, 확률 및 에르고딕 이론과 물리학 및 경제학에서 중요한 역할을 합니다.

 

### 1.2. 측정 및 통합에 대한 직관적인 아이디어

 

측정 이론의 목표는 더 넓은 함수 클래스에 대한 적분을 정의할 수 있는 방식으로 길이, 면적, 부피와 같은 개념을 보다 추상적인 집합으로 일반화하는 것입니다. \([a, b]\)와 같이 실수로 간격의 길이를 측정하는 간단한 아이디어를 생각해 보세요. 여기서 측정값은 단순히 간격의 길이에 해당하는 차이 \(b - a\)입니다. 2차원에서는 직사각형의 면적을 측정하고 3차원에서는 상자의 부피를 측정할 수 있습니다. 이는 모두 고전적인 측정 개념을 직관적으로 적용한 것입니다.

 

그러나 더 복잡하거나 추상적인 집합에 '측정값'을 할당하려고 하면 어떻게 될까요? 예를 들어, 한 구간 내의 유리수 집합을 생각해 보겠습니다. 이러한 유리수의 길이를 개별적으로 더하면 전체 측정값에는 아무런 기여를 하지 못하지만 실수선에는 밀도가 높습니다. 마찬가지로 복잡한 자기 유사성 속성을 가진 집합인 프랙탈은 면적이나 부피에 대한 우리의 전통적인 개념에 도전합니다. 측정 이론은 단순한 기하학적 직관에 위배되는 병리학적 사례를 포함하여 이러한 집합에 일관된 '크기'를 할당하는 과정을 공식화하고 확장하는 것을 목표로 합니다

 

측도 이론은 주어진 공간의 부분집합에 음수가 아닌 실수를 할당하는 함수인 **measure**의 개념을 도입합니다. 예를 들어, 실수의 경우, 르베그 측도는 간격, 가산 가능한 집합 및 더 복잡한 구성을 포함하여 \(\mathbb{R}\)의 부분집합에 일관된 길이 개념을 할당하는 방법을 제공합니다.

 

측정 이론의 또 다른 중요한 측면은 **적분**입니다. 고전 미적분학에서 함수의 적분은 함수의 곡선 아래 면적을 제공합니다. 측정 이론의 핵심 개념인 르베그 적분은 이 아이디어를 일반화하여 더 광범위한 종류의 함수를 통합하고 한계를 더 엄격하게 처리할 수 있게 해줍니다. 리만 적분에 비해 르베그 적분의 주요 장점 중 하나는 불규칙 집합에 정의된 불연속 또는 함수와 함수의 적분을 허용한다는 점입니다.

 

### 1.3. 측정 가능한 공간 및 시그마-대수

 

측정 이론의 핵심은 **측정 가능한 공간**의 개념으로, \(X\) 집합 \(\mathcal{A}\)과 \(X\)의 하위 집합 \(\mathcal{A}\)을 **시그마 대수**라고 합니다. 시그마 대수 \(\mathcal{A}\)는 계수 가능한 연산에 대해 잘 동작하도록 보장하는 특정 속성을 만족하며, 이는 일관되게 측정값을 정의하는 데 중요합니다.

 

집합 \(\mathcal{A}\)에 대한 시그마 대수는 다음 성질을 만족해야 합니다:

1. **보체**: \( \in \mathcal{A}\)인 경우, \(A\)의 보체( \(X \setminus A\)도 \(\mathcal{A}\)에 있어야 합니다.

2. **카운트 가능한 조합**: \(A_1, A_2, A_3, \dots\)이 모두 \(\mathcal{A}\)에 있다면, 그 조합 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\)도 \(\mathcal{A}\)에 있어야 합니다.

3. **카운트 가능한 교차점**: 이는 드 모건의 법칙에 따른 것입니다. \(\mathcal{A}\)가 보완 및 카운트 가능한 결합에 따라 폐쇄되는 경우, 이 역시 카운트 가능한 교차점에 따라 폐쇄됩니다.

 

시그마 대수는 \(X\)의 어떤 하위 집합에 척도를 할당할 수 있는지 정의하는 체계적인 방법을 제공하여 프로세스가 일관되고 한도 내에서 척도가 잘 작동하도록 보장합니다.

 

그런 다음 시그마 대수 \(\mu\)에 \(\mathcal{A}\), 즉 \(\mu: \mathcal{A} \to [0, \infty]\)의 각 집합에 음수가 아닌 확장 실수를 할당하는 함수입니다. 이 함수는 측도라고 부르려면 특정 속성을 충족해야 합니다:

1. **부정하지 않음**: 임의의 집합 \(A \in \mathcal{A}\), \(\mu(A) \geq 0\)에 대하여.

2. **null 빈 집합**: \(\mu(\emptyset) = 0\).

3. **계산 가능한 덧셈** (또는 \(\sigma\)-가산성): \(\{A_i\}_{i=1}^{\infty}\)가 \(\mathcal{A}\)의 분리 집합의 계산 가능한 집합이라면, 다음과 같습니다:

   \[

   \mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i).

   \]

척도의 가장 친숙한 예는 \(\mathbb{R}\)에 대한 **레베그 척도**로, 직관적인 길이 개념을 일반화합니다. 레베그 척도는 각 구간 \([a, b]\) 길이 \(b - a\)를 할당하고 이 개념을 일관된 방식으로 더 복잡한 집합으로 확장합니다.

 

## 2. 르베그 측정 및 통합

 

### 2.1. 르베그 법안의 건설

 

르베그 측도는 측도 이론의 핵심 개념으로, "길이"에 대한 개념을 보다 엄격한 방식으로 일반화하도록 설계되었습니다. 르베그 측도를 구성하는 핵심 아이디어는 \(\mathbb{R}\)의 간격 길이 개념을 더 복잡한 집합으로 확장하는 동시에 측도의 본질적인 속성을 보존하는 것입니다.

 

르베그의 접근 방식은 실수의 열린집합과 닫힌집합을 고려하는 것으로 시작됩니다. 열린집합은 서로 분리된 열린집합의 결합인 반면, 닫힌집합은 열린집합의 보완입니다. 열린집합 \(a, b)\의 길이는 단순히 \(b - a\)이며, 더 복잡한 열린집합의 길이(분리된 열린집합의 셀 수 있는 결합으로 쓸 수 있음)는 이러한 간격의 길이의 합입니다.

 

르베그는 열린 집합을 사용하여 외부에서, 닫힌 집합을 사용하여 내부에서 근사화하여 집합의 측도를 정의했습니다. 주어진 집합 \(A \subset \mathbb{R}\)에 대해, \(A\)의 르베그 측도는 \(A\)를 포함하는 열린 집합의 측도 중 최소값 또는 이에 상응하는 \(A\) 내에 포함된 닫힌 집합의 측도의 최댓값으로 정의됩니다.

 

이 구조를 통해 레베그 측도는 리만 적분이 처리할 수 있는 것보다 훨씬 더 넓은 집합 클래스에 "길이"를 할당할 수 있습니다. 특히, 셀 수 없음에도 불구하고 레베그 측도가 0인 칸토르 집합과 같이 매우 불규칙한 집합을 포함하여 구간으로 구성되지 않은 집합에 측도를 할당할 수 있습니다.

 

### 2.2. 르베그 통합

 

르베그 척도를 기반으로 하는 르베그 적분은 리만 적분의 개념을 일반화합니다. 르베그 적분은 리만 접근법에서와 같이 작은 간격에 걸쳐 함수의 값을 합산하는 대신 함수 범위의 여러 수준에서 기여한 내용을 합산합니다.

 

측정 가능한 함수 \(f: X \to \mathbb{R}\)가 주어졌을 때, 르베그 적분의 기본 아이디어는 \(f\)의 범위를 작은 조각으로 나누고 각 조각 내의 값을 취하는 점 집합의 크기를 측정하는 것입니다. 함수 범위의 각 "슬라이스"에 대해 르베그 적분은 함수의 값에 해당 점 집합의 측도를 곱한 값을 더합니다.

 

집합 \(A\)에 대한 함수 \(f\)의 르베그 적분은 다음과 같이 정의됩니다:

\[

\int_A f \, d\mu = \sup\left\{\int_A \phi \, d\mu : \phi \text{는 단순 함수이며, } 0 \leq \leq f \right\},

\]

여기서 \(\phi\)는 아래에서 \(f\)에 근사하는 간단한 함수입니다.

 

르베그 적분은 리만 적분에 비해 몇 가지 중요한 장점이 있습니다. 첫째, 더 넓은 종류의 함수를 적분할 수 있습니다